Как три вектора один детерминант

в нуль обратили

( Народная сказка )

Как идут две параллели,
Да не сходятся.
Как стоят два перпендикуляра,
Да не наклонятся.
(Старинная песня)

В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное удобопорядоченное семейство векторов - I₁ , I₂ , и I₃ .Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили в чём мать родила. Из периода в период, от -p до p гнули братья спины на базисе богатого Симплекса - эксплуататора и тунеядца, который всю жизнь свою прожил по принципу наименьшего действия.
И невзлюбил их сын Симплекса Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то на одну координату отобьёт, то на другую.
“Не будут нам житья от этого Комплекса, - решили братья. - Нет на него никаких ограничений”. И задумали они обойти все пространства и все подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли в чисто потенциальное поле и пошли с шагом h/2 куда глаза глядят. п идут, 2п идут, 3п идут. Стали уже попадаться изоклины. Глянули братья - прямо перед ними блестит голубым разрезом на ровной струйное течение. Не простое течение - с кавитацией. “ а не половить ли нам рыбки?” - Молвил I₁ . “отчего же нет? - сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою видавшую виды ортогональную сеть. Смотрят - в сети сигма-рыба бьётся, человечьим голосом разговаривает: “Не губите меня, добры молодцы, я ещё вам пригожусь”. Выпустили её братья на волю и дальше пошли.
Долго ли, коротко ли шли - больше нуля, меньше бесконечности - смотрят: стоит при дороге малый параметр, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили ядрами всвёртку, угостили и повторными. Стал тут параметр на глазах расти, а когда достиг экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал: “Я ещё вам пригожусь”. Да и пропал, будто и не было его вовсе.
Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья Мёбиуса, закрутились в воздухе уединённые вихри; огненные разрезы молний раскололи небесную сферу Римана. Оглянулись братья, глядь - при дороге избушка на курьих ножках. “Избушка, избушка, повернись к нам плюсом, к лесу минусом”. Попереминалась избушка с ноги на ногу, повернулась. Вошли в неё векторы и возрадовались. Стоит в избушке стол, всякими яствами уставлен. Поели братья, спросили: “Есть тут кто? Отзовись”. Смотрят - из-под печки вылазит не то вектор, не то скаляр, дробной цепью закованный. “Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. Вот уже полжизни сижу я здесь под стражей злой Наблы-Яги за отрицание разнозначности...” Не успел он договорить - зашумело, засвистело вокруг. “Бежим!” - вскричал Мак Лоран. Расковали его братья и пустились все вместе наутёк. Оглянулись и видят - летит по небу прекрасная Дельта. Ударилась Дельта оземь, стала на голову и обратилась в страшную Наблу-Ягу. ”Чую, чую, векторным духом пахнет!” А векторов тех уж и след простыл.
Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на Divgrad, что означает Дивный город, а сам пошёл своим путём.
...И выросли перед братьями стены града великого, подобно тому, как возрастает график тангенса с аргументом, близким к p /2. И расходилось от него сияние лучистое, подобно тому как расходятся частные суммы гармонического ряда.
Зашли братья в харчевню “Y с волной”, разговорились с хозяйкой, толстой, дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город. Устроил как-то правитель Дивграда великий Тензор IV инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Такого бала ещё не было в его области определения. Приехал на бал граф Икс в самосопряжённой коляске, прибыл князь синус со своей Синусоидой. Дивные звуки К-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце “Па dt”. Вдруг погас свет, заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты и след простыл. Как показало следствие из теоремы о монодрамии, её похитил злоё волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи
Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться силами со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тейлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.
Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжёлые граничные условия не позволили векторам пройти в соседнюю накрестлежащую область, населённую псевдовекторами, где господствовало классовое неравенство Коши-Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: “Направо пойдёшь - в бесконечность уйдёшь. Налево пойдёшь - координат не соберёшь. Прямо пойдёшь - транспонируешься”. Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись - старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. “Знаю, братья я вашу думу. Тяжёлое дело вы замыслили. Трудно одолеть Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко к корням полинома Лежандра, первый узел - простой, второй - морской, третий - логарифмический. А полином тот растёт в изолированной точке и добраться до него нелегко. Лежит она за 3+9 земель в пространстве хана Банаха. И охраняет её чудище с трансцендентным числом ног, по кличке Декремент. Тот детерминант надо достать и приравнять нулю”.
Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Стоят, гадают, как им быть - не знают. Вдруг откуда ни возьмись - сигма-рыба. “Вот и пригодилась я вам, добрые молодцы!”. Перевезла их всех, объяснила дорогу дальше
Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Да предстал перед ними малый параметр. “Вот и пригодился я вам, братья!”. Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли братья на другую сторону. “А теперь,- говорит им параметр,- идите по следам матриц, прямо до изолированной точки”.
Отыскали братья следы, смотрят - расходятся они на три стороны. Отправились они каждый по своему направлению. Шёл-шёл I - вдруг как из-под земли выросли перед ним неисчислимые орты хана Банаха, все, кроме, быть может, одного, одетые в жорданову форму, подстриженные под скобку Пуассона. “Эх, - опечалился вектор, - нет со мной моих любимых братьев! Да ничего, I₁ в поле воин!” - и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Одолели супостата.
Вдруг задрожало всё вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья, накинули на него верёвочный многоугольник. Запуталось в нём чудище. Издохло.
Нашли братья полином, разрыли корни, разрубили узлы, открыли икосаэдр, достали додекаэдр, извлекли детерминант... да и приравняли его нулю.
Тут и пришёл конец Вандермонду. И появилась перед братьями красавица Резольвента, живая и невредимая.
...Что и требовалось доказать.

Примечание 1. Сказка написана для случая n=3. Пользуясь методом полной математической индукции, читатель без труда обобщит её на случай любого n>n.

Примечание 2. Обратное, вообще говоря, неверною